Sistema di particelle

Consideriamo un sistema di particelle puntiformi  di masse m₁,m₂,m₃,   ,m_N che nello spazio occupano le posizioni P₁,P₂,P₃,….,P_N . Sussiste la seguente

Definizione

         Si chiama centro di massa del sistema di particelle il punto G dello spazio che verifica la seguente equazione vettoriale

                           (1)

Vogliamo dimostrare che per qualunque sistema di particelle esiste sempre un solo punto G nello spazio che verifica la (1).

Infatti, detto O l’origine del sistema di riferimento di assi cartesiani ortogonali adottato ricordiamo che per la definizione di somma di due vettori , per ogni punto P_i occupato dalla particella i-esima , si può scrivere:

                      (1.1)

L’equazione (1) può essere allora posta nella forma

                     (1.3)

La (1.3) indica operativamente come procedere per determinare la posizione del centro di massa G costruendo il suo vettore di posizione . Dunque per ogni sistema di particelle esiste il punto G ed è unico.

Proiettando la (1.3) sugli assi coordinati si ricavano le espressioni delle coordinate del centro di massa.

         ,                ,       
Si noti che in base alla definizione data, e lo si intuisce anche dalle coordinate ottenute, il centro di massa di un sistema di particelle non coincide in genere con uno dei punti delle particelle elementari, ma è un punto dello spazio che comunque esiste.
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Corpo rigido continuo esteso

Per un corpo continuo di massa M si definisce ugualmente il centro di massa ed il vettore posizione che lo individua è

                                (2)

Si tratta di un integrale di volume perché deve essere eseguito su tutto il volume occupato dal corpo ; dm indica la massa elementare ed OP  il suo vettore posizione .

Se il corpo non è omogeneo è necessario conoscere come varia la sua densità r(x;y;z); in tal caso la (2) diventa

             (3)

Scriviamo della (2) le espressioni scalari che forniscono le tre coordinate del punto G.

          ;                ;