Un corpo rigido esteso ruota intorno all'asse a

Se in luogo di una massa puntiforme si considera un corpo rigido C esteso ed un asse a allora si  definisce il momento d’inerzia del corpo rispetto a detto asse nel modo seguente.

Si immagina di suddividere il corpo C in tante minuscole particelle, tanto piccole da poterle considerare puntiformi e, detta m_i la generica particella, sia r_i la distanza della sua posizione dall’asse di rotazione. Il momento d’inerzia  del corpo C rispetto all’asse a è definito come la somma dei momenti d’inerzia rispetto allo stesso asse di tutte le particelle costituenti il corpo C. Indicando con N il numero di tali particelle si può esprimere il momento d’inerzia come segue

E’ evidente che non ha molto senso pensare di poter considerare un corpo rigido avente un determinato volume come formato da un numero finito N di particelle puntiformi. L’unione di N punti, per quanto grande possa essere il numero N, non formerà mai un corpo esteso. Ciò non di meno il modello assunto delle N masserelle permette un approccio elementare al problema.

         In verità la formula (2) è idonea a rappresentare il momento d’inerzia del sistema delle N particelle “libere”  e puntiformi m₁, m₂, …,m_N , rispetto all’asse a prefissato. Per poter definire in modo rigoroso il momento d’inerzia di un corpo rigido esteso C  che occupi il volume V è necessario ricorrere all’analisi infinitesimale ed al calcolo integrale.

Si supponga di considerare una massa elementare dm costituente il corpo C, tanto piccola da poterla ritenere puntiforme,  e sia r la sua distanza dall’asse  prefissato a. Il momento d’inerzia di dm rispetto all’asse, indicatolo con dI, è

              (3)

 Ebbene, per ottenere il momento d’inerzia di tutto il corpo occorre sommare tutti i contribuiti dati allo stesso dalle infinite particelle elementari dm che costituiscono il corpo C. L’operazione di somma necessaria si effettua operativamente calcolando l’integrale di volume di seguito riportato:

                (4)