Dimostrazione
Consideriamo un piano a_o passante per il centro della sfera e perpendicolare all’asse a. Per dedurre la formula è necessario pensare al guscio sferico come composto da tante parti elementari di ciascuna delle quali si sa trovare il momento d’inerzia rispetto all’asse prefissato. La parte elementare che vogliamo considerare è il sottile anello  del guscio sferico compreso tra due piani a_{1 ,} a₂ paralleli al piano a_o  e molto vicini tra loro. In figura è rappresentato un tale anello. Intersecando questo anello con il piano b passante per il suo centro e perpendicolare al piano dell’anello stesso (si pensi al piano del foglio), che contiene l’asse a,  si ottengono due archi di circonferenza di lunghezza dl. Detto P un punto dell’anello appartenente ad uno dei suddetti archi elementari, P’ la sua proiezione ortogonale sul piano a_o, O il centro della sfera, l’angolo  misura q . Ebbene, unendo con il centro O gli estremi di uno degli archi dell’anello intercettati sul piano b si determina un angolo di ampiezza dq e la misura dl dell’arco in oggetto è

              .

Avendo considerato i piani a₁ , a₂ molto vicini tra loro possiamo ritenere la superficie dell’anello come quella del cilindro circolare retto di raggio OP’  ed altezza dl e scrivere quindi il valore della sua area come segue

                                      (G.2)

Introduciamo ora il concetto di

Densità superficiale di massa

     Definiamo densità superficiale di massa per il guscio sferico omogeneo di massa M e raggio r il rapporto tra la massa del guscio e l’area della superficie sferica. Quindi

                                                              (G.3)

La massa dm concentrata nell’anello  è 

Notiamo ora che  

e dunque possiamo scrivere il momento d’inerzia della massa dm rispetto all’asse a giacché si tratta di applicare la legge del momento d’inerzia di un anello omogeneo di raggio HP rispetto all’asse baricentrale perpendicolare al piano dell’anello. Dunque risulta:

         Ora per calcolare il momento d’inerzia del guscio sferico è sufficiente eseguire il calcolo dell’integrale definito sulla variabile q