Discussione del problema

1)  Il problema si risolve applicando i principi di conservazione dell’energia e del momento angolare.

     Infatti nella caduta la barretta ed il corpo C₁ perdono energia gravitazionale  perché si abbassano le quote dei loro centri di massa. Precisamente, il centro di massa della barretta scende di L/2 e quello del corpo C₁ scende della misura L. Quest’energia si trasforma interamente in energia di rotazione dei due corpi e quindi, indicando:

·        con  w il modulo della velocità angolare posseduta dalla barretta e dal corpo C₁ subito prima dell’urto;

·        con I_CM il momento d’inerzia della barretta rispetto all’asse baricentrale parallelo all’asse di rotazione, che ricordiamo vale ;

·        con I_A il momento d’inerzia della barretta calcolato rispetto all’asse di rotazione, dal teorema di Steiner si deduce il momento I_A :

Poiché per un corpo in rotazione con velocità angolare w intorno ad un asse rispetto al quale il momento d’inerzia sia I, l’energia meccanica di rotazione è data da

per l’energia di rotazione della barretta e del corpo C₁ subito prima dell’urto possiamo scrivere la seguente espressione

Dicevamo che quest’energia è uguale all’energia gravitazionale persa complessivamente dalla barretta e dal corpo C₁, che è:

                    (1.1)

Uguagliando le due espressioni si determina il valore della velocità angolare:

torna su

2)  L’urto è elastico e quindi si conservano l’energia meccanica ed il momento angolare del sistema composto dalla barretta e dai due corpi C₁, C₂. 

Indichiamo:

con V₂    il modulo della velocità lineare con cui parte il corpo C₂ subito dopo l’urto;

con w₁   il modulo della velocità angolare della barretta e del corpo C₁ dopo l’urto rispetto all’asse di rotazione.

Ricordiamo che il momento angolare di un corpo che ruota rispetto ad un asse è dato da Iw, essendo I il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione. Per il principio di conservazione del momento angolare (il sistema dei tre corpi è isolato) possiamo uguagliare il valore del momento angolare del sistema prima dell’urto, dato dal momento angolare della barretta e del corpo C₁, al valore del momento angolare del sistema meccanico dopo l’urto. Dopo l’urto il momento angolare è dato dalla somma del momento angolare della barretta, da quello del corpo C₁ e da quello del corpo C₂ .Il momento angolare di quest’ultimo vale .

Il momento angolare della barretta e del corpo C₁ dopo l’urto è:

;

il momento angolare prima dell’urto è

.

Sussiste allora l’uguaglianza

               (2.1)

Il principio di conservazione dell’energia meccanica nell’urto permette di ricavare una seconda equazione uguagliando l’energia cinetica prima dell’urto data dall’energia di rotazione della barretta caricata, all’energia cinetica dopo l’urto data dalla somma dell’energia cinetica della barretta caricata con l’energia cinetica acquistata dal corpo C₂. L’equazione è:

che deve essere soddisfatta dalle incognite w₁ e V₂ . Sostituendo i valori noti delle grandezze otteniamo:

    (2.2)

Risolvendo il sistema composto dalle due equazioni (2.1), (2.2) si determinano i valori della velocità angolare w₁ e della velocità lineare del corpo C₂. Riportiamo i loro valori senza eseguire i calcoli algebrici.

 ,