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| Dimostrazioni delle formule Primo caso Secondo caso Vedi Problema applicativo risolto Vedi anche Rotolamento cilindro pieno, Rotolamento sfera
Consideriamo un cilindro omogeneo cavo di raggio r e massa M. Vogliamo provare che il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo alle generatrici del cilindro e passante per il suo baricentro è: I=Mr2 (9)
La dimostrazione dell’affermazione è quasi immediata. Infatti, se
immaginiamo di sezionare il cilindro con due piani paralleli tra loro,
infinitamente vicini e perpendicolari all’asse baricentrale indicato, si
ottiene un anello sottile di massa dm e
raggio r
il cui momento d’inerzia
rispetto all’asse fissato è Osservato
che in ciascun momento d'inerzia rimane costante il raggio si deduce che il
momento d'inerzia del cilindro si ottiene mettendo in evidenza il fattore r2
e moltiplicandolo per la somma di tutte le masse dei singoli anelli. La somma di
dette masse elementari è la massa totale M
del cilindro, dunque risulta valida la formula (9).
Nel caso in cui il corpo sia di forma cilindrica con una cavità interna il cui raggio è minore del raggio della sezione esterna, cioè se lo spessore del cilindro non è trascurabile rispetto al raggio della sua sezione, il valore del momento d’inerzia rispetto all’asse di simmetria baricentrale parallelo alle generatrici del cilindro è diverso da quello determinato per il “cilindro completamente cavo”. Vogliamo provare che se M è la massa del corpo omogeneo, R1, R2 sono rispettivamente il raggio interno ed il raggio esterno di una qualsiasi sezione del solido normale all’asse di simmetria indicato, allora il momento d’inerzia è:
Osservazione Prima
di passare alla dimostrazione della legge (10.1.1) facciamo notare che le
formule per i momenti d’inerzia già viste
si
possono ottenere dalla (10.1.1) rispettivamente ponendo, ed per il cilindro cavo
Dimostrazione della formula. La dimostrazione si effettua con lo stesso procedimento seguito per il calcolo del momento d’inerzia del cilindro pieno omogeneo. Anche in questo caso si considera come modello di massa elementare dm quella del “cilindro coassiale di spessore infinitesimo dx” per il quale risulta
nelle
quali i simboli utilizzati hanno lo stesso significato visto in precedenza. La
differenza nel calcolo consiste solo negli estremi di integrazione per la
variabile x che in questo caso varia
dal valore minimo R1 al valore massimo R2.
Osserviamo ora che il volume del solido si ottiene moltiplicando l’area della corona circolare di base per l’altezza, quindi
e quindi sostituendo nell’espressione ottenuta ricaviamo
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(9) per il cilindro
omogeneo cavo,
(10) per il cilindro omogeneo pieno,
.
;
,
,
C.V.D.