Discussione del problema

      Il problema si risolve applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica ed utilizzando la relazione esistente tra il momento delle forze-peso dei tre corpi, l’accelerazione angolare a del sistema ed il momento d’inerzia I dello stesso.

     Determiniamo il centro di massa del sistema delle due masse e della barretta.

         In figura è indicato un sistema di riferimento di ascisse avente origine nel punto O sulla verticale per A ; l’asse ha la direzione della barra ed è orientato nel verso delle masse. Notiamo che dalle ipotesi poste sul sistema la massa M della barretta, data la sua omogeneità,  può essere pensata concentrata nel suo centro geometrico; nello stesso punto dobbiamo ritenere concentrata la massa M/2 centrata sulla barretta. La seconda massa attaccata alla barretta si trova all’estremità libera B e quindi è nota la sua distanza dal punto O.

     Ricordando che il centro di massa di tre particelle m₁, m₂, m₃, puntiformi collocate su uno stesso asse di ascisse nelle posizioni  rispettivamente x₁, x₂, x₃ si trova nel punto di ascissa

                                   (1)

     possiamo determinare la posizione del centro di massa del sistema delle tre masse. La sua distanza dal punto A è 

     Pertanto il centro di massa del sistema delle tre masse si trova nel punto della barretta a distanza 5L/8 dal centro di rotazione.

         Nell’istante in cui la barretta forma con la verticale l’angolo di ampiezza q il centro di massa del sistema si sarà abbassato della quota 

     e se assumiamo come livello zero per l’energia potenziale gravitazionale del sistema quello del piano orizzontale che passa per il punto occupato dal centro di massa del sistema nell’istante considerato, possiamo affermare che l’energia potenziale gravitazionale immagazzinata nel sistema delle tre masse nella posizione iniziale era

     Ebbene, per il principio di conservazione dell’energia meccanica, la stessa  energia si ritrova sotto forma di energia cinetica rotazionale del sistema e  quindi, indicando con w la velocità angolare istantanea di rotazione ed I il momento d’inerzia del sistema rotante rispetto al centro di rotazione, sussiste l’uguaglianza

            (2)

     Occorre a questo punto calcolare il momento d’inerzia del sistema delle tre masse rispetto all’asse di rotazione.

     Sappiamo che il momento d’inerzia di una barretta omogenea[1] di lunghezza L e massa M rispetto ad un suo estremo è 

                   ;

     per quanto concerne le due masse di intensità M/2 le riteniamo puntiformi . Una si trova a distanza L/2 e l’altra a distanza L dall’asse di rotazione e dunque i rispettivi momenti d’inerzia sono:

                   ,       

     Deduciamo che il momento d’inerzia complessivo del sistema meccanico rispetto al punto A è

                         (3)

     Sostituendo l’espressione trovata nella (2) si determina il valore della velocità angolare di rotazione del sistema.

                                        (2.1)

     Calcolo della velocità lineare del centro di massa

         Ricordiamo che in un moto circolare il modulo V della velocità lineare di un punto a distanza R dal centro di rotazione è dato da

         ,

     essendo w la velocità angolare nello stesso istante.

     Nel nostro caso conosciamo  la velocità angolare istantanea di rotazione e la distanza del centro di massa del sistema dal centro A di rotazione che è espressa dalla (1). Possiamo perciò calcolare il valore della velocità lineare.