Problema:barretta con moneta
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Soluzione del Problema 

Problema
    Una barretta omogenea di massa M, lunghezza L e spessore trascurabile è vincolata a ruotare intorno al suo estremo A come indicato in figura. Inizialmente, sostenuta da un filo, è in posizione orizzontale. Sulla parte superiore del secondo estremo è collocata una moneta.

a)     Determinare l’accelerazione tangenziale con cui inizia a muoversi l’estremo B quando è tagliato il filo e confrontarla con l’accelerazione con cui cade la moneta.

b)    Confrontare il modulo della velocità dell’estremo B quando raggiunge la posizione più in basso con quella raggiunta dalla moneta alla stessa quota.

 


Nella caduta la moneta resta indietro rispetto all’estremo B della barretta.

Discussione del problema

Non appena si taglia il filo la barretta inizia a ruotare intorno al suo estremo A con accelerazione angolare a a causa del momento meccanico del suo peso che possiamo pensare applicato nel baricentro, cioè nel punto G a distanza L/2 dal centro di rotazione.

   Sulla barretta, durante la rotazione, oltre alla forza peso , agisce anche la reazione vincolare  applicata nel centro di rotazione e diretta verso l’alto. Per trovare l’accelerazione angolare all’inizio del moto ricordiamo che il momento delle forze esterne rispetto all’asse di rotazione è uguale al prodotto del momento d’inerzia rispetto allo stesso asse per l’accelerazione angolare, cioè:

                                                        (1)

         Ora, il momento delle forze esterne è in realtà solo quello dovuto alla forza peso della barretta giacché la reazione vincolare ha momento nullo perché la sua retta d’azione passa per l’asse di rotazione. Nell’istante iniziale il modulo del momento è:

                                                   (2)

ed uguagliando le due espressioni ottenute per il momento si ricava il valore dell’accelerazione angolare iniziale.

                              (3)

         Ricordiamo ora che in un moto circolare la componente  tangenziale dell’accelerazione ha espressione scalare data da

 ,                                          

essendo R il raggio della traiettoria circolare. Nel nostro caso risulta R=L, quindi:

Occorre calcolare il momento d’inerzia della barretta rispetto all’estremo A. 

Dal teorema di Steiner (dell’asse parallelo), tenendo conto dell’espressione  del momento d’inerzia della barretta rispetto al baricentro

,

ricaviamo

                     (4)

per cui l’espressione dell’accelerazione tangenziale del punto B è

                                                (5)

Poiché una volta tagliato il filo la moneta cade  liberamente e quindi con accelerazione , deduciamo che l’estremo B della barretta, all’inizio del moto, cade con un’accelerazione tangenziale pari ad 1,5 volte quella della moneta. 

Eseguendo l’esperienza suggerita dal problema si dovrebbe osservare la moneta che resta leggermente indietro rispetto all’estremo B nella caduta.

b) La quota più bassa che può raggiungere il punto B è alla profondità L rispetto al livello di partenza.

         Quando la barretta sarà giunta in quella posizione sarà dotata ancora di rotazione e la sua velocità angolare sarà wf. L’energia cinetica:

                                       (6)

posseduta sarà uguale al valore dell’energia potenziale gravitazionale che avrà perso la barretta rispetto alla posizione iniziale, dato dal prodotto del peso per il dislivello subito dal centro di massa, quindi

                            (7)

Uguagliando le due espressioni dell’energia meccanica si ricava il valore della velocità angolare:

Possiamo ora scrivere il modulo della velocità lineare dell’estremo B:

                                    (8)

Per quanto concerne la velocità con cui la moneta arriva alla profondità L rispetto al punto di partenza, trattandosi di un moto uniformemente accelerato con accelerazione g, sappiamo che il suo modulo è:

.
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