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Discussione problema In riferimento alla figura riportata, supponiamo di aver fissato un sistema di misura per l’angolo q che l’asticella del pendolo forma con la verticale OH passante per il punto di sospensione O. Notiamo che se l’asticella e il disco sono al di fuori della verticale OH allora i rispettivi pesi tendono a far ruotare il sistema delle due masse richiamandolo verso la verticale. Il moto che ne risulta è rotatorio attorno alla retta per O, perpendicolare al piano delle oscillazioni e presenta un’accelerazione angolare a che varia istante per istante. E’ noto che il momento delle forze agenti sul sistema meccanico, valutato rispetto all’asse di rotazione, è legato all’accelerazione angolare tramite il momento d’inerzia del sistema meccanico dalla legge
essendo I il momento d’inerzia del sistema rispetto allo stesso asse. I è dato dalla somma del momento d’inerzia (Ib) della barretta con il momento d’inerzia del disco (Id). Per
una barretta omogenea di massa M e lunghezza L,
il momento d’inerzia rispetto ad un asse baricentrale perpendicolare alla
dimensione della barretta è
e applicando il teorema di Steiner (dell’asse parallelo) si determina il momento d’inerzia Ib . Risulta
Il
momento d’inerzia del disco, considerato omogeneo, rispetto ad un asse
baricentrale perpendicolare al piano del disco è
Ricordando la relazione tra il raggio R del disco e la lunghezza L dell’asticella possiamo scrivere
Notiamo che le due forze producono momenti concordi rispetto all’asse di rotazione e quindi il modulo t del momento totale è:
Se consideriamo oscillazioni di piccola ampiezza ( 0°£q°£10°) ed esprimiamo l’ampiezza dell’angolo q in radianti, possiamo approssimare senq con q (Vedi tabella valori senx) per cui l’espressione del momento diventa
Ricordiamo
ora che l’accelerazione angolare del sistema è
la derivata seconda rispetto al tempo dell’angolo q
e dunque dalla la legge (1) ricaviamo:
Possiamo ora osservare che fissando come positivo il verso antiorario per l’angolo q, l’accelerazione è negativa quando l’angolo q >0 ed è positiva quando q<0, quindi i valori algebrici sono discordi. Questo fatto implica che le due forze tendono ad impedire che il baricentro del sistema si allontani dall’asse di rotazione e quindi i pesi fungono da “richiamo” verso la verticale. Per questo motivo, nel confrontare le due espressioni algebriche del momento si deve uguagliare l’espressione (3) all’opposto dell’espressione (2). Quindi l’equazione che permette di determinare la legge angolare che descrive il moto è:
Possiamo semplificare l’equazione ottenuta scrivendola nella forma seguente:
La (4) è un’equazione differenziale del secondo ordine ed è dello stesso tipo dell’equazione relativa al moto armonico semplice. La si riconosce ancora meglio ponendo
Deduciamo dunque che la legge che descriverà le oscillazioni del pendolo (ripetiamo per piccole oscillazioni) è proprio quella del moto armonico. La pulsazione è
il periodo
Sostituendo i valori noti per la lunghezza e l’accelerazione di gravità si ricava
a)
Come si vede il periodo del pendolo supera il
secondo di tre millesimi. Se un orologio funziona con il dispositivo
indicato ed è impostato in modo che segni un secondo ogni oscillazione compiuta
dal sistema, allora nell’arco delle 24 ore della giornata accumulerà un
ritardo. Infatti, quando l’orologio segna che è trascorso un secondo, in
realtà è trascorso un tempo superiore di tre millesimi (di secondo) e poiché
l’orologio segnalerà che saranno trascorse 24 ore allorquando avrà compiuto
un numero di oscillazioni pari a
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