Dimostrazione^([1])

 Prima Parte 

         Proviamo innanzitutto che è costante il momento angolare di un pianeta qualsiasi X che ruota intorno al Sole.

    Il sistema composto dal Sole e dal pianeta X costituiscono un sistema isolato e i due astri interagiscono solo tramite la forza di gravitazione universale che è diretta costantemente verso il centro di massa del sistema.

Assumiamo per comodità che il centro di massa del sistema coincida con la posizione occupata dal sole, che possiamo considerare fermo (nel sistema delle due masse). La forza gravitazionale responsabile del moto del pianeta è una “forza centrale”, cioè è diretta sempre verso lo stesso punto e ciò implica che il momento angolare del pianeta X si mantiene costante. Questa è una caratteristica dei moti originati da forze centrali. La dimostrazione di questa affermazione si deduce dalla definizione di momento angolare e dalle proprietà del prodotto vettoriale ma richiede l’intervento del concetto di derivata di un vettore che non rientra nei programmi di matematica della Scuola Secondaria Superiore. Riportiamo comunque di seguito la dimostrazione; il lettore che avesse difficoltà di interpretazione può saltarla ed accontentarsi della conclusione, cioè che il momento angolare è costante.

Ricordiamo che indicata con  la velocità del pianeta X, m la sua massa, quando si trova nella posizione P rispetto al sole, che pensiamo nel punto O, il momento angolare è definito da

.

         Calcolando la derivata rispetto al tempo del momento angolare si ottiene

                                       (1)

Ricordiamo che per definizione risulta , ,essendo l’accelerazione del pianeta; inoltre ricordiamo che il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo e quindi è nullo il primo termine del secondo membro della (1). Possiamo scrivere allora la derivata del momento angolare  come segue

            (2)

La forza  responsabile del moto del pianeta altro non è che la forza gravitazionale, diretta dal pianeta al sole e quindi parallela al vettore posizione , dunque è nullo anche il prodotto vettoriale .

Concludiamo che il momento angolare ha derivata nulla e ciò vuol dire che il vettore è costante.     C.V.D.

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Seconda Parte della dimostrazione

          Consideriamo ora due intervalli di tempo [t₁;t₂] , [t₃;t₄] di uguale ampiezza, quindi Dt=t₂- t₁= t₄- t₃ ; vogliamo provare che le aree spazzate dal raggio vettore OP (O=posizione del sole, P= posizione del pianeta X) nei due intervalli di tempo sono uguali.

         Sappiamo che l’orbita descritta dal pianeta intorno al sole è un’ellisse, tuttavia se gli intervalli di tempo considerati non sono molto ampi possiamo ritenere l’arco di traiettoria circolare. Inoltre per intervalli di tempo non molto estesi la velocità del pianeta si mantiene costante in modulo.Siano v₁, v₂ i moduli delle velocità (medie) nei due intervalli di tempo considerati,  r₁, r₂ le distanze dal sole alle quali si trova il pianeta .

 Le lunghezze degli archi di traiettoria descritti sono

;                  

 I valori delle aree dei settori (circolari) spazzati dai raggi vettori sono

,     

 Ricordiamo ora che il momento angolare è costante  e poiché abbiamo supposto che le traiettorie descritte siano archi di circonferenza,  i vettori velocità sono perpendicolari ai raggi vettore. Ne segue che il momento angolare nei due casi è dato dal prodotto dei raggi vettore per i moduli dei vettori quantità di moto. Dunque ,   , dove m è la massa del pianeta X ; uguagliando otteniamo

                              (3)

Elaboriamo ora le espressioni dei valori delle aree dei settori:

,     

In virtù dell’uguaglianza (3) si ricava

               C.V.D

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