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Supponiamo che i corpi rotolino sul piano inclinato senza strisciare. Questa ipotesi implica che si conserva l’energia meccanica del sistema. Sia h l’altezza del piano inclinato rispetto al piano orizzontale sul quale è appoggiata la superficie inclinata ed assumiamo uguale a zero l’energia potenziale gravitazionale su detto piano orizzontale. Essendo M il valore comune della massa dei due corpi, quando sono alla sommità del piano possiedono uguale energia potenziale gravitazionale data da

                                 (7.1)

Quando i due corpi saranno arrivati alla base del piano la loro energia potenziale gravitazionale iniziale si sarà trasformata in energia cinetica che a sua volta si presenta come somma di una quantità di energia sotto forma di traslazione e di un’altra parte sotto forma di energia cinetica di rotazione. 

      (7.2)

Per la conservazione dell’energia meccanica sussiste la seguente uguaglianza

   .                           (7.3)

 Nella (7.3) I rappresenta il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse baricentrale e parallelo al piano di rotolamento, V_CM il modulo della velocità lineare del centro di massa del corpo, w il modulo della velocità angolare con cui il corpo ruota intorno all’asse baricentrale suddetto.

Tra velocità angolare e velocità lineare del centro di massa sussiste la relazione

V_CM =wR .

Tenute presenti le espressioni dei momenti d’inerzia dei due corpi 

     I=MR² ,              per il cilindro cavo,

        per la sfera,

sostituendo nella (7.3) ed elaborando si trovano le espressioni delle velocità lineari con cui i centri di massa arrivano alla base del piano. I risultati sono

  ,                         (7.4).

Il valore dell’altezza del piano è

dunque si ha:

Osservazione- La velocità del centro di massa della sfera è maggiore di quella del centro di massa del cilindro cavo. 

In effetti la sfera arriva prima alla base del piano se i due corpi vengono lasciati liberi contemporaneamente alla sommità del piano. (Osservare la foto a lato).

         Come già osservato nella discussione sul rotolamento di un disco su un piano orizzontale una buona percentuale di energia meccanica dei corpi in moto rototraslatorio si immagazzina sotto forma di energia cinetica di rotazione. Per la sfera l’energia rotazionale è pari al 40% di quella di traslazione, mentre se il cilindro cavo avesse il raggio della cavità uguale “praticamente” a quello della sfera l’energia rotazionale sarebbe addirittura uguale a quella di traslazione. Giustifichiamo le affermazioni.

1) Per la sfera 

2) Per il cilindro cavo

Dal confronto delle quote di energia meccanica che vengono immagazzinate dalla sfera e dal cilindro cavo sotto forma rotazionale si evince chiaramente il motivo del ritardo accumulato nel moto traslatorio dal cilindro rispetto alla sfera.

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