Soluzione     a) Calcolo tensione, b) Calcolo accelerazione, c)Velocità centro di massa 

a) Calcolo della tensione

Mentre il cilindro scende è soggetto alla sua forza peso ed alla tensione  della cordicella  diretta verso l’alto.

Assumiamo per la descrizione del moto un asse verticale orientato verso il basso.

La seconda equazione della dinamica ha la seguente espressione vettoriale

                          (1)

mentre scalarmente risulta

                          (2).

Il moto del cilindro è rototraslatorio. Mentre scende ruota e l’asse istantaneo di rotazione, considerando il disegno riportato in figura, è la retta perpendicolare al piano del foglio (quindi alla sezione del cilindro) passante per il punto A. Per determinare le grandezze richieste è necessario utilizzare anche la legge dei momenti meccanici relativamente alle forze esterne agenti sul  sistema. La ricordiamo: 

“Nel moto di un sistema meccanico soggetto ad una o più forze esterne, il momento di queste rispetto all’asse di rotazione  è uguale al prodotto del momento d’inerzia per l’accelerazione angolare del corpo rispetto allo stesso asse.”

In simboli

                                  (3)

Nel nostro caso entrambe le forze agenti sul cilindro producono una rotazione in senso orario; per quanto riguarda i moduli dei momenti meccanici delle stesse rispetto all’asse per A, risulta nullo quello della tensione , mentre  vale MgR quello della forza peso. Ne segue che 

                                 (4)

e per la (3) possiamo scrivere 

                               (5)

Con le equazioni (2) e (5) risolveremo il problema.

 Occorre il momento d’inerzia. 

          Sappiamo che il momento d’inerzia del cilindro omogeneo rispetto all’asse baricentrale parallelo alla superficie laterale del cilindro è  ed applicando il teorema di Steiner si ricava quello rispetto all’asse di istantanea rotazione. Si ha

                             (6)

Durante la discesa il valore della velocità angolare w con cui il cilindro ruota rispetto all’asse indicato permette di scrivere l’espressione del modulo della velocità lineare di ogni punto del disco in funzione di questa e della distanza del punto dall’asse di rotazione. Precisamente si ha:

 V=wd .

  In particolare per il centro C della sezione del cilindro indicata in figura risulta

                                           (7)

Derivando rispetto al tempo i due membri della (7) si ottiene al primo membro la componente dell’accelerazione lineare lungo l’asse verticale e nel secondo membro il prodotto dell’accelerazione angolare con il raggio R. Quindi sussiste la relazione

                                           (8)

Possiamo ora sintetizzare tutte le informazioni.

 
 La tensione è pari ad un terzo del peso del cilindro.

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b) Calcolo dell'accelerazione

        Avendo già determinato il valore dell'accelerazione angolare con cui ruota il cilindro intorno all'asse di istantanea rotazione si può trovare il valore dell'accelerazione lineare con cui scende il centro di massa.

Il centro del cilindro scende con accelerazione pari ai due terzi dell’accelerazione di gravità.

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 c) Velocità del centro di massa del cilindro dopo la discesa di h metri

 Poiché il moto del centro del cilindro è uniformemente accelerato, e considerato che nell’istante iniziale la velocità era nulla, si ricava la velocità raggiunta dopo aver percorso il tratto h dalla relazione

, essendo a il modulo dell’accelerazione di caduta. Quindi si ha

          (9)

Osservazione

Facciamo notare che la velocità raggiunta dal centro di massa del cilindro dopo aver percorso la distanza h è inferiore a quella che avrebbe raggiunto se fosse stato lasciato libero di cadere (corpo in caduta libera). Infatti, in questo secondo caso il valore della velocità è .

Bilancio energetico

 Supponendo di trascurare ogni forma di attrito, dobbiamo verificare che l’energia cinetica complessiva acquistata dal cilindro è pari all’energia potenziale gravitazionale che ha perso. Esprimendoci in forma diversa si tratta di provare che la variazione di energia cinetica è uguale all’opposto della variazione dell’energia potenziale gravitazionale del cilindro. In simboli:

               (10)

 Per la verifica fissiamo come livello zero per l’energia potenziale gravitazionale quella del piano raggiunto dal cilindro dopo essere sceso del tratto h. 

Per quanto concerne il secondo membro della (10) si ha

Il primo membro della (10) è ovviamente uguale al valore dell’energia cinetica finale , visto che il corpo inizialmente era fermo.

Il valore  si determina osservando che in ogni istante l’energia cinetica è uguale al semiprodotto del momento d’inerzia rispetto all’asse di istantanea rotazione con il quadrato della velocità angolare.Quindi 

.

Poiché dalla (7) la velocità angolare è data da  , con V_C espressa dalla (9), ed il momento d’inerzia I_A è dato dalla (6), possiamo scrivere:

 La relazione (10) è dunque verificata.