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Discussione del problema vedi anche Cilindro_cavo_su_piano_inclinato Risolviamo il problema in due modi diversi. Primo metodo-Secondo metodo Con il primo metodo si applica il principio di conservazione dell’energia; con il secondo teniamo conto delle diverse forze che agiscono sul cilindro durante il moto.
Assumiamo come livello zero per l’energia potenziale gravitazionale quello del piano orizzontale. Rispetto a tale riferimento il cilindro, collocato alla sommità del piano inclinato, si trova all’altezza h e quindi risulterà in possesso dell’energia potenziale gravitazionale Ui=Mgh. (c.1) Durante la discesa il moto del cilindro è rototraslatorio, cioè risulta composto da un moto di traslazione con un moto di rotazione. Tuttavia se si considera un qualsiasi istante il moto del cilindro si può interpretare come di pura rotazione con velocità angolare w intorno all’asse di istantanea rotazione, che è quello di contatto tra il cilindro ed il piano di rotolamento. Si dimostra che è ancora w la velocità angolare di ciascun punto del cilindro rispetto all’asse parallelo all’asse di istantanea rotazione passante per il baricentro del cilindro([1]). In questo modo si può esprimere l’energia meccanica di rototraslazione del cilindro tramite la formula (6). Quindi
dove I indica il momento d’inerzia rispetto all’asse di istantanea rotazione. Possiamo esprimere il valore dell’energia cinetica come somma dell’energia di rotazione intorno al centro di massa e dell’energia di traslazione, in virtù di quanto visto quando si è sviluppato l'argomento “Energia cinetica di un corpo in moto rototraslatorio”. Precisamente, l’energia cinetica rotazionale è
nella quale ICM è il momento d’inerzia del cilindro rispetto all’asse baricentrale parallelo alle generatrici del cilindro, mentre l’energia cinetica di traslazione è espressa da
dove VCM è velocità lineare del centro di massa. L’energia cinetica complessiva immagazzinata dal cilindro in ogni istante è:
Abbiamo già ricordato che la velocità angolare w con cui il corpo ruota intorno all’asse passante per il centro di massa è la stessa con la quale questo ruota intorno all’asse di istantanea rotazione, dunque sussiste la relazione VCM=wR. Tenendo ora presente l’espressione del momento d’inerzia del cilindro rispetto all’asse baricentrale parallelo alle generatrici del cilindro, cioè
possiamo sostituire le due espressioni nella (c.2) e semplificarla.
L’espressione (c.3) per l’energia cinetica vale in ogni posizione del cilindro; in particolare sussiste quando questo raggiungerà la base del piano inclinato allorquando tutta l’energia potenziale gravitazionale si sarà trasformata in energia cinetica. Uguagliando le due espressioni si ricava
Osservazione- Ricordiamo che se un corpo scivola lungo un piano inclinato di altezza h senza attrito, con velocità iniziale nulla, quando giunge alla base del piano risulta in possesso di una velocità il cui modulo è
Confrontando i due valori emerge che la velocità del centro di massa del cilindro che rotola è minore rispetto a quella che avrebbe se scivolasse senza attrito. Possiamo ora ricavare il valore della velocità angolare finale
dalla quale si deduce che quanto maggiore è il raggio R del cilindro tanto minore è il valore di wf.
Secondo metodo In questa risoluzione facciamo riferimento alla figura riportata. Possiamo notare che le forze agenti sul cilindro sono: a)
la sua forza peso
b) la forza di reazione vincolare([2]) Rv esercitata dal piano di appoggio e perpendicolare al piano stesso; c) la forza di attrito Fa . Notiamo che la forza di reazione vincolare Rv ha modulo uguale ad Mgcosq e detta a la componente scalare dell’accelerazione con cui si muove il centro di massa del cilindro risulta Mgsenq - Fa=Ma. (c.6) Per quanto riguarda la rotazione, considerandola intorno al centro di massa con velocità angolare w, possiamo osservare che il momento delle forze agenti deve uguagliare il prodotto del momento d’inerzia rispetto allo stesso asse con l’accelerazione angolare a. Quindi t=Ia (c.7) Delle forze agenti rispetto all’asse di rotazione solo la forza di attrito ha un momento diverso da zero e risulta uguale ad FaR, quindi t= FaR. (c.8) Confrontando le due espressioni otteniamo
Ricordiamo ora che l’accelerazione angolare con cui il centro di massa ruota intorno all’asse di istantanea rotazione è ancora a e che sussiste la relazione a=Ra (c.10) tra l’accelerazione tangenziale e quella angolare per cui possiamo ancora scrivere
Sostituiamo l’espressione della forza di attrito ottenuta nella (c.6) e ricaviamo il modulo dell’accelerazione lineare del centro di massa:
Il centro di massa del cilindro scende con accelerazione costante, conseguentemente la sua legge oraria è
dalla quale si ricava il tempo di caduta
La legge della velocità lineare è
e sostituendo a t il valore del tempo di caduta si ottiene il modulo della velocità lineare con cui il centro di massa giunge alla base del piano inclinato:
(poiché
Come si vede abbiamo ricavato lo
stesso risultato indicato dalla (c.4), ottenuto con il principio di
conservazione dell’energia.
Osservazione sulla conservazione dell’energia meccanica Il
rotolamento del cilindro avviene perché esiste la forza di attrito nel contatto
tra la superficie cilindrica e la superficie piana, anzi se non vi è
sufficiente attrito il cilindro scivola. Nel caso del rotolamento le forze di
attrito sono applicate nei punti dell’asse di istantanea rotazione e dunque
non producono lavoro. Per questo motivo, pur in presenza di forze di attrito
agenti sul sistema, si è potuto applicare il principio di conservazione
dell’energia meccanica |
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(c.2)
,
(c.3)
.
(c.5)
