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Momento d'inerzia di una sfera

Per il calcolo del momento d’inerzia di una sfera omogenea si segue una strada identica a quella indicata per determinare il momento d’inerzia di un guscio sferico omogeneo. L’unica differenza consiste nel volume elementare di sfera che si considera. In questo caso, fissato l’asse baricentrale a rispetto al quale calcolare il momento d’inerzia si assume come volume elementare del corpo il segmento sferico a due basi compreso tra due piani paralleli a_{1
,}a₂ molto vicini tra loro e perpendicolari all’asse baricentrale fissato.
La formula per il momento d’inerzia è

(S.1)

Dimostrazione

Introduciamo la definizione di

Densità volumetrica di massa

Per un corpo omogeneo di massa M che occupi il volume V si definisce densità volumetrica di massa il rapporto tra la massa ed il volume.

Nel caso della sfera in esame risulta

(S.2)

In riferimento alla figura, posto , si osservi che l’elemento di volume dS considerato si può ritenere come un cilindro circolare retto pieno con raggio di base HP ed altezza dx ; ne segue che il suo volume dV è:

(S.3)

La massa dm racchiusa dall’elemento di volume è

(S.4)

Visto che la massa dm è distribuita omogeneamente in un cilindro circolare retto il cui asse baricentrale coincide con l’asse a della sfera, possiamo scrivere il momento d’inerzia per dm nella forma⁽¹⁾

(S.5)

Notiamo ora che applicando il teorema di Pitagora al triangolo OHP risulta

, con . (s.6)

Mettendo insieme le relazioni (S.3,4,5,6) possiamo esprimere il momento elementare d’inerzia nella forma

Il momento d’inerzia di tutta la sfera rispetto all’asse a è uguale al doppio del momento d’inerzia della semisfera rispetto allo stesso asse, per cui se ne ottiene il valore con l’integrale:

A questo punto sostituiamo alla densità volumetrica r la sua espressione in funzione della massa e del raggio della sfera ed otteniamo

La formula è così acquisita. C.V.D.

⁽¹⁾ La formula è quella relativa al momento d’inerzia di un disco omogeneo rispetto all’asse baricentrale perpendicolare al piano del disco, dimostrata quando è stato trattato il “Momento d’inerzia di un disco omogeneo”.