|
Supponiamo di avere una barretta omogenea piana di massa M, lunghezza L, altezza h e spessore trascurabile. Vogliamo provare che il momento d’inerzia rispetto ad un asse passante per il centro della barretta, contenuto nel piano di questa e perpendicolare alla dimensione L, è dato da (11) Dimostrazione. Indichiamo con s
la densità di massa superficiale. In riferimento alla figura Fig.7 consideriamo
un elemento di superficie dS
di area ds
, di forma rettangolare, a distanza x dall’asse a rispetto al quale si intende determinare il momento
d’inerzia. Essendo h l’altezza della
barretta, se dx rappresenta la dimensione infinitesima orizzontale
dell’elemento di superficie d, il valore di ds
è dato da Possiamo esprimere il valore della massa elementare dm corrispondente all’elemento di superficie dS: dm=sds=shdx; (11.2) poiché i punti dell’elemento di superficie dS si possono ritenere tutti alla distanza x dall’asse a, si deduce che il suo momento d’inerzia è dato da (11.3) In corrispondenza dell’elemento di superficie dS possiamo considerare quello ad esso simmetrico rispetto all’asse a che avrà lo stesso momento d’inerzia. Ne segue che possiamo calcolare il momento d’inerzia complessivo tramite l’integrale definito:
C.V.D.
La formula per il momento d'inerzia in questo caso è dedotta direttamente dall'applicazione del Teorema di Steiner. Infatti, si ha |
|