Soluzione
  (vedere anche i problemi  Disco rotante in piano verticale Sulla macchina di Atwood)

Accelerazione, Tensione T, Velocità, Bilancio energetico, Applicazione

Osserviamo subito che la massa non scende liberamente perché sulla stessa agisce la forza  dovuta alla reazione del disco di massa M che è accelerato proprio dalla massa m che scende per effetto della sua forza peso. Assumendo come asse per la descrizione del moto per la massa m quello verticale passante per il baricentro di questa ed orientato verso il basso, la seconda equazione della dinamica in forma scalare risulta:

                        mg-T=ma,                                                      (4.1)

 avendo indicato con a l’accelerazione della massa.

Notiamo ora che l’accelerazione con cui scende la massa m è uguale all’accelerazione tangenziale a_t di un qualsiasi punto del bordo disco e che sussistono tra le diverse grandezze le seguenti relazioni

 t=Ia=TR,        a_t=Ra

 Con
                                                  
 ricaviamo dunque

                                                                                                      (4.2)

Sostituendo nell’equazione (4.1)  a_t con a si ricava l’espressione dell’accelerazione con cui scende la massa m.

                                                              (4.3)

                                    (4.4)

 Calcolo della velocità della massa m dopo un tratto di discesa Dh

Il moto di caduta della massa m avviene con accelerazione uniforme  di valore

e poiché parte da ferma  dopo aver percorso un tratto Dh avrà acquistato la velocità  V_f  data da 

                                                                       (4.5)

 Verifica del bilancio energetico

        Durante la discesa della massa m quest’ultima perde progressivamente energia potenziale gravitazionale mentre acquista energia cinetica, ma una parte dell’energia meccanica gravitazionale perduta è immagazzinata dal disco rotante sotto forma d’energia di rotazione. Pertanto in un qualsiasi istante dovrà risultare

       Facciamo notare che la velocità V_f acquistata dalla massa m è anche quella periferica di un qualsiasi punto del bordo del disco e d’altro canto, essendo w_f la velocità angolare del disco nello stesso istante, risulta anche 

                                                           V_f=Rw_f.

L’energia cinetica di rotazione del disco è allora

Utilizzando per V_f  l’espressione (4.5) possiamo scrivere diversamente l’espressione dell’energia cinetica del sistema dopo che la massa m ha percorso il tratto Dh.

A questo punto facciamo notare che la diminuzione d’energia potenziale gravitazionale della massa m quando scende di un dislivello Dh è proprio il valore mgDh e dunque abbiamo trovato che l’energia cinetica totale del sistema delle due masse uguaglia tale valore. Il bilancio energetico è così verificato. 

Applicazione

            Supponiamo che risulti:

M=500g, m=100g, Dh=50cm, R=10cm. Trovare la tensione T del filo e la velocità finale della massa m.

 L’accelerazione di discesa è

Energia cinetica della massa m.

Energia cinetica di rotazione

Momento di’inerzia                          

Energia cinetica di rotazione              

         Þ          

Energia gravitazionale persa dalla massa m

Bilancio energetico

                                                       C.V.D.