Soluzione     a) accelerazione e tensioni, b) energia cinetica,c)bilancio energetico
  (vedi anche i problemi 
Disco rotante in piano verticale
Disco rotante con massa appesa)

a)         Calcolo dell'accelerazione e delle tensioni

       Cominciamo con l’osservare che la ruota è soggetta al momento meccanico delle due forze , che le sono trasmesse dalle funicelle per effetto dei pesi delle due masse. La tensione  produce una rotazione in senso orario, quindi il suo momento rispetto al centro di rotazione è negativo, mentre la forza produce un momento positivo perché la sua azione tende a far ruotare la ruota in senso antiorario per un osservatore che guardi il foglio.

Per la descrizione del moto adottiamo un asse verticale orientato verso il basso(vedi figura seguente).

 Il modulo del momento meccanico complessivo è

ed indicando con a il modulo dell’accelerazione angolare con cui gira la ruota e con I il momento d’inerzia della stessa rispetto all’asse di rotazione deve risultare anche

        , con .

Pertanto sussiste l’uguaglianza        

                                                  (5.1)

Sappiamo per ipotesi che la massa m₁ è maggiore della massa m₂, quindi il sistema meccanico si muoverà con la massa m₁ che scenderà con accelerazione di modulo a, la massa m₂ che salirà con accelerazione avente lo stesso modulo perché la funicella è inestensibile e la ruota girerà in senso orario.

Le equazioni relative al moto delle due masse ottenute dalla seconda legge della dinamica proiettate sull’asse di riferimento sono:

                     per la massa m₁;             (5.2)

                  per la massa m₂.             (5.3)

Risolvendo il sistema formato dalle tre equazioni (5.1), (5.2), (5.3) si determina il valore del modulo dell’accelerazione a. In particolare dalla (5.1) dopo aver sostituito il valore del momento d’inerzia si ricava

Eseguendo le elaborazioni algebriche necessarie si ricavano i valori

        ;        ;     

Sostituendo i valori forniti per le masse m₁, m₂, M otteniamo

                     (5.4)

 b) Calcolo dell'energia cinetica della ruota

     Per calcolare l’energia cinetica della ruota quando la massa m₁ scende di un tratto pari ad L=1m occorre tener presente la conservazione dell’energia meccanica. Infatti non essendoci forze di attrito l’energia meccanica si conserva.

           Per la risoluzione del quesito assumiamo come livello zero per l’energia potenziale gravitazionale per il sistema quello del piano orizzontale a al quale si troverà la massa m₁ quando sarà scesa di L=1m. Teniamo presente che in quell’istante la massa m₂, da qualunque quota sia partita, si sarà sollevata rispetto alla posizione iniziale di un dislivello . Indichiamo con  la quota iniziale della massa m₂ rispetto al piano orizzontale a. Nell’istante iniziale l’energia meccanica del sistema è puramente gravitazionale e vale

Nell’istante finale l’energia meccanica è data dalla somma 

Per esprimere le espressioni dei termini indicati dobbiamo ricordare che quando un corpo si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione a, dopo aver percorso uno spazio Ds, se la velocità iniziale è nulla, acquisterà la velocità 

.

 Nel nostro caso le due masse m₁, m₂ nell’istante iniziale sono ferme e si muovono per il tratto Ds=L=1m con accelerazioni uguali in modulo il cui valore è espresso dalla (5.4) , cioè  . L’energia cinetica delle due masse sarà allora

Per quanto riguarda l’energia cinetica di rotazione della ruota facciamo notare che nell’istante finale un punto qualsiasi del suo bordo possiede velocità lineare pari a quella di ciascuna delle due masse m₁, m₂ , quindi pari a ; d’altro canto il valore della velocità angolare posseduta dalla ruota nello stesso istante è 

e quindi la sua energia cinetica è

Infine, l’energia potenziale gravitazionale della massa m₂, che aumenta, è data da 

.

C)        Verifica del bilancio energetico

                L’energia meccanica iniziale è:

    L’energia meccanica finale è 

        Come si vede i valori iniziale e finale dell’energia meccanica coincidono.