Soluzione (vedi anche i problemi Sferette estremi barretta, Uomo2_su_piattaforma)

         Durante il moto dell’uomo sulla piattaforma il sistema uomo+piattaforma è isolato e quindi si conserva il momento angolare^([1]). Infatti, ricordiamo che indicando con   il momento angolare del sistema rispetto all’asse di rotazione sussiste la relazione 

                                 (1)

e non essendoci forze esterne agenti sul sistema risulta 

 per cui si ha anche

          .           (2)

Ricordiamo inoltre che in un sistema isolato le forze si presentano a coppie, cioè possono essere presenti a due a due ed hanno moduli uguali, sono parallele e versi opposti. Per questo motivo il momento risultante delle forze interne al sistema, calcolato rispetto ad un punto qualsiasi O, nonché rispetto ad un asse qualsiasi, è sempre nullo. 

         Ciò premesso, ai fini della risoluzione del problema in esame, ricordiamo la relazione esistente tra momento d’inerzia I del corpo, velocità angolare di rotazione e momento angolare   rispetto all’asse di rotazione  : 

.                                 (3)

Indichiamo con I₁, ₁ e  I₂, ₂ rispettivamente i valori del momento d’inerzia e della velocità angolare nelle due posizioni: 

1        posizione iniziale, l’uomo è sul bordo della piattaforma;

2       posizione finale, l’uomo si è avvicinato di 50 cm al centro della piattaforma.

Dal principio di conservazione del momento angolare si deduce l’uguaglianza scalare

I₁w₁ = I₂w₂  

da cui

  .                                   (4)

Calcolo dei momenti d’inerzia

         Il momento d’inerzia del sistema meccanico nei due casi è dato dalla somma del momento d’inerzia del disco con il momento d’inerzia dell’uomo rispetto all’asse. Ora, non avendo informazioni diverse sulla piattaforma rotante la riteniamo come un disco omogeneo di massa M e raggio R e dunque il suo momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione (baricentrale e perpendicolare al piano della piattaforma) è 

;

per quanto concerne l’uomo lo riteniamo puntiforme (sarebbe esattamente la stessa cosa se si considerasse la sua massa distribuita lungo un segmento verticale) ed indicando con m la sua massa, il suo momento d’inerzia nella posizione n.1 è 

      .

 Il momento d’inerzia complessivo del sistema rispetto all’asse è allora

                        (5)

Nella posizione finale, la n.2, il momento d’inerzia della piattaforma è ancora lo stesso ma è diminuito il momento d’inerzia dell’uomo perché la sua distanza dal centro di rotazione è diminuita. L’uomo si è avvicinato di un quarto del raggio della piattaforma, quindi la distanza  dal centro ora è

,

 per cui il momento d’inerzia rispetto allo stesso asse è

  .

Possiamo scrivere allora il momento d’inerzia del sistema nella posizione finale.

         (6)

Utilizzando la relazione (4) determiniamo la velocità angolare finale del sistema rotante.

.

Sostituendo i valori assegnati nel testo del problema ricaviamo

Calcolo della variazione dell’energia cinetica

 Sappiamo che l’energia cinetica rotazionale di un sistema rotante che abbia momento d’inerzia I e velocità angolare w è 

e la variazione di energia cinetica del sistema si ottiene dalla differenza tra il valore finale ed il valore iniziale. Quindi

Calcoliamo i valori delle diverse grandezze in gioco.

; 

;

;

.

Osservazione

         La variazione di energia cinetica è positiva e ciò non deve meravigliare. Infatti l’uomo per muoversi deve compiere lavoro e questo, supponendo di trascurare ogni forma di attrito, lo si ritrova come aumento di energia cinetica del sistema meccanico.

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